Question

（文）函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0，

f(m)+f(n)

m+n

＞0，
（1）证明：f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）≤4^t-3•2^t+3对所有x∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数的单调性的定义可知，要证明函数f（x）在[-1，1]上是增函数，只要证明任取-1≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）＜f（x₂），即可
（2）由不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)，结合（1）可得-1≤x+

1

2

≤

1

x-1

≤1，解不等式可求x
（3）结合函数f（x）在[-1，1]是增函数，且f（1）=1，可得f（x）的最大值1，则由f（x）≤4^t-3•2^t+3对所有x∈[-1，1]恒成立，只要f（x）_max≤4^t-3•2^t+3即可，从而可求

解答：证明：（1）任取-1≤x₁＜x₂≤1．
∵f（x）为奇函数，
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

•(x1-x2)，
∵

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x1-x2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)?

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

?{x|-

3

2

≤x＜-1}
（3）由（1）知f（x）在[-1，1]是增函数，且f（1）=1，
∴x∈[-1，1]时，f（x）≤1．
∵f（x）≤4^t-3•2^t+3对所有x∈[-1，1]恒成立，
∴4^t-3•2^t+3≥1恒成立，
∴（2^t）²-3•2^t+2≥0即2^t≥2或2^t≤1
∴t≥1或t≤0．

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义的应用，及利用函数的单调性求解不等式，求解函数的最值，以及函数的恒成立与函数的最值的相互转化．