Question

设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²，若关于x的方程f（x）=x²+x+a在x∈[0，2]上恰好有两个相异实根，则实a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：方程f（x）=x²+x+a可化为x-a+1-ln（1+x）²=0，由于此方程为非基本方程，故求方程的根，可以转化为求对应函数的零点问题，利用导数法我们易构造出满足条件的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．

解答：解：若f（x）=x²+x+a
即（1+x）²-ln（1+x）²=x²+x+a
即x-a+1-ln（1+x）²=0
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²
则g'（x）=

x-1

x+1

令g'（x）＞0，得x＞1，或x＜-1
令g'（x）＜0，得-1＜x＜1
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
若方程f（x）=x²+x+a在x∈[0，2]上恰好有两个相异实根，则

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

解得2-2ln2＜a≤3-2ln3
故答案为：（2-2ln2，3-2ln3]

点评：本题考查的知识点是方程的根的分布，其中利用方程的根与对应函数之间的关系，将方程f（x）=x²+x+a在x∈[0，2]上恰好有两个相异实根，转化为对应函数在区间∈[0，2]上恰好有两个相异的零点是解答本题的关键．