Question

【题目】已知在函数（）的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．

（1）求的值和切线的方程；

（2）设曲线在任一点处的切线倾斜角为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）或．

【解析】试题分析：（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得的值与切线的方程．（2）因为在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线垂直，显然切线斜率从而可以解出的范围．

试题解析：

（1），由题意知，方程有两个相等的根，

∴，∴．

此时方程化为，得，

解得切点的纵坐标为，

∴切线的方程为，即．

（2）设曲线上任一点处的切线的斜率为（由题意知存在），

则由（1）知，

∴由正切函数的单调性可得的取值范围为或．