Question

【例】某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.如图所示，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在上.设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

S=（50－40cosθ）（50－40sinθ），当θ=0或θ=，S_max=500

解析:

解: 延长GH交CD于N，则NH=40sinθ，CN=40cosθ.

∴HM=ND=50－40cosθ，AM=50－40sinθ.

故S=（50－40cosθ）（50－40sinθ）=

100［25－20（sinθ+cosθ）+16sinθcosθ］（0≤θ≤）.

令t=sinθ+cosθ=sin（θ+），

则sinθcosθ=，且t∈［1，］.

∴S=100［25－20t+8（t²－1）］=800（t－）²+450.

又t∈［1，］，∴当t=1时，S_max=500，

此时sin（θ+）=1sin（θ+）=.

∵≤θ+≤π，∴θ+=或π，

即θ=0或θ=.

答:当点H在的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大面积是500 m².