Question

13．已知集合$A=\{x|a-1＜x＜3a+2\}，B=\{x|\frac{1}{4}＜{2^{x-1}}＜4\}$．
（Ⅰ）若a=1，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入A中不等式，求出解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可；
（Ⅱ）由A与B的交集为空集，分A为空集及不为空集两种情况求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，A={x|0＜x＜5}，
由$\frac{1}{4}$＜2^x-1＜4，得-2＜x-1＜2，
解得：-1＜x＜3，
∴B={x|-1＜x＜3}，
则A∩B={x|0＜x＜3}；
（Ⅱ）若A=∅，则a-1≥3a+2，解得：a≤-$\frac{3}{2}$；
若A≠∅，则a＞-$\frac{3}{2}$，由A∩B=∅，得到a-1≥3或3a+2≤-1，
解得：-$\frac{3}{2}$＜a≤-1或a≥4，
综上，实数a的取值范围是{x|x≤-1或x≥4}．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．