Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=6，且当n≥2时，$\frac{1}{3}$a_n=a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n-1．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是等比数列；
（2）若对任意n∈N^*，不等式3n²-2n-5＜（2-λ）a_n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将条件变形可得$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{3{a}_{n-1}}{n}$，再由等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，可得a_n，由题意可得2-λ＞$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$恒成立，构造数列令f（n）=$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$，求得单调性，可得最大值，即可得到所求范围．

解答 （1）证明：当n≥2时，$\frac{1}{3}$a_n=a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n-1．
即有a_n=3a_n-1+$\frac{3{a}_{n-1}}{n}$=$\frac{3{a}_{n-1}（n+1）}{n}$，
即为$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{3{a}_{n-1}}{n}$，
则数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}是首项为$\frac{{a}_{1}}{2}$=3，公比为3的等比数列；
（2）解：由（1）可得$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=3ⁿ，即an=（n+1）•3ⁿ，
不等式3n²-2n-5＜（2-λ）a_n恒成立，即为
（3n-5）（n+1）＜（2-λ）（n+1）•3ⁿ，
即有2-λ＞$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$恒成立，
令f（n）=$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$，n=1时，f（1）=-$\frac{2}{3}$，
n＞1时，f（n+1）-f（n）=$\frac{3n-2}{{3}^{n+1}}$-$\frac{3n-5}{{3}^{n}}$=$\frac{13-6n}{{3}^{n+1}}$，
即有n=1，2时，f（3）＞f（2）＞f（1），
当n≥3时，f（n+1）＜f（n）＜…＜f（3），
即有f（3）取得最大值，且为$\frac{4}{27}$，
则2-λ＞$\frac{4}{27}$，解得λ＜$\frac{50}{27}$．
即有λ的取值范围是（-∞，$\frac{50}{27}$）．

点评 本题考查的等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的单调性的判断和运用，同时考查不等式的性质，属于中档题．