Question

【题目】已知函数f（x）=（x2﹣ax+a）e﹣x ， a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f'（x），其中f'（x）为函数f（x）的导函数．判断g（x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为R，

其导数f′（x）=﹣（x﹣2）（x﹣a）e﹣x，

①当a＜2时，令f'（x）＜0，解得：x＜a或x＞2，f（x）为减函数，

令f'（x）＞0，解得：a＜x＜2，f（x）为增函数；

②当a=2时，f'（x）=﹣（x﹣2）2e﹣x≤0恒成立，函数f（x）为减函数；

③当a＞2时，令f'（x）＜0，解得：x＜2或x＞a，函数f（x）为减函数；

令f'（x）＞0，解得：2＜x＜a，函数f（x）为增函数；

综上，

当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，a），（2，+∞）；单调递增区间为（a，2）；

当a=2时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；

当a＞2时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，2），（a，+∞）；单调递增区间为（2，a）；

（2）g（x）在定义域内不为单调函数，

以下说明：g'（x）=f'（x）=[x2﹣（a+4）x+3a+2]e﹣x，

记h（x）=x2﹣（a+4）x+3a+2，则函数h（x）为开口向上的二次函数，

方程h（x）=0的判别式△=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4＞0恒成立，

所以，h（x）有正有负．从而g'（x）有正有负，

故g（x）在定义域内不为单调函数.

【解析】（1）先求得导函数，再根据导函数的特征进行分类讨论，进而求得不同情况下函数的单调区间；（2）求得函数g（x）的导函数，其导函数为开口向上的二次函数，故可知函数g（x）在定义域内不为单调函数.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．