Question

14．已知{a_n}为等差数列，且满足a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记{a_n}的前n项和为S_n，若a₃，a_k+1，S_k成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n，进而可得a₃，a_k+1，S_k，由等比数列可得k的方程，解方程即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+2d=8}\\{2{a_1}+4d=12}\end{array}}\right.$，
解方程组可得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}=\frac{（2+2n）n}{2}=n（1+n）={n^2}+n$，
∴a₃=2×3=6，a_k+1=2（k+1），${S_k}={k^2}+k$，
∵a₃，a_k+1，S_k成等比数列，∴$a_{k+1}^2={a_3}{S_k}$，
∴（2k+2）²=6（k²+k），
化简可得k²-k-2=0，
解得k=2或k=-1，
∵k∈N^*，∴k=2

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题．