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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,cos∠A1DD1=
DD1
DA1
=
3
10
10
,DBB1,∠A1DD1是AB1的中点.
(Ⅰ)求证:B1C∥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角DO的余弦值.
考点:二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(Ⅰ)证明线面平行常用以下两种方法:一是用线面平行的判定定理,二是用面面平行的性质.本题用这两种方法都行;
(Ⅱ)首先应考虑作出平面DBB1截三棱柱所得的截面.作出该截面便很容易得到二面角的平面角即为∠A1DD1.本题也可用向量解决.
解答: 解:(Ⅰ)法一:连结AB1,交A1B于O,连结DO,则B1C∥DO,从而 B1C∥平面A1BD.


法二:取A1C1的中点D1,连结CD1,易得平面CB1D1∥DBA1,从而 B1C∥平面A1BD.
(Ⅱ)A1C1的中点D1,连结DD1、D1B1,易得平面DBB1D1就是平面DBB1
又BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥A1D,BD⊥DD1
所以∠A1DD1就是该二面角的平面角.cos∠A1DD1=
DD1
DA1
=
3
10
10
点评:本题考查直线与平面平行的判定定理的应用,二面角的平面角的求法,考查计算能力.
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x2
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3
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3
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1
2
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2
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3
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2
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