Question

某分公司经销某种产品，每件产品的成本为6元，并且每件产品需向总公司交a元（2≤a≤6）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（13≤x≤14）时，一年的销售量为16-x万件．
（1）求分公司一年的利润y（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润y最大，并求出y的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润y（万元）与每件产品的售价x的函数关系式，注意变量的范围；
（2）根据二次函数，利用配方法讨论对称轴，分别求出y的最大值M（a），最后利用分段函数表示即可．

解答：解：（1）y=f（x）=（x-6-a）（16-x），
即y=-x²+（a+22）x-16a-96，x∈[13，14]．…（4分）
（2）y=- ( x-

a+22

2

 )2+( 

a+22

2

 )2 -16a-96，…（6分）
∵2≤a≤6，∴12≤

a+22

2

≤14．…（7分）
①当13≤

a+22

2

≤14，即4≤a≤6时，M(a)=f(

a+22

2

)=

1

4

a2-5a+25；…（10分）
②当12≤

a+22

2

＜13，即2≤a＜4时，M（a）=f（13）=-3a+21．…（13分）
综上，M(a)=

-3a+21         ( 2≤a＜4 ) 1 4 a2-5a+25  ( 4≤a≤6 )

．
答：若2≤a＜4，则当售价为13元时，利润最大，为-3a+21万元；
若4≤a≤6，则当售价为

a+22

2

元时，利润最大，为

1

4

a2-5a+25万元．…（14分）

点评：本题主要考查了函数的导数的求法以及利用二次函数求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．