【题目】已知椭圆的左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B,且,为等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,点M在椭圆C上且位于第一象限内,它关于坐标原点O的对称点为N;过点M作x轴的垂线,垂足为H,直线与椭圆C交于另一点J,若,试求以线段为直径的圆的方程;
(3)已知是过点A的两条互相垂直的直线,直线与圆相交于两点,直线与椭圆C交于另一点R;求面积取最大值时,直线的方程.
【答案】(1) (2) (3).(也可写成.)
【解析】
(1)由椭圆左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B,且,为等边三角形,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.
(2)设,则由条件,知,,且,.推导出,进而求得直线NH的方程:.由求得.再求出线段的中点坐标,由此能求出以线段为直径的圆的方程.
(3)当直线的斜率为0时,.当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为,利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式,结合已知条件能求出结果.
(1)∵椭圆的左焦点为F,短轴的两个端点分别为A、B
且,为等边三角形.
p>∴由题意,得:,解得,∴椭圆C的方程为.(2)设,则由条件,知,,且,.
从而.
于是由及,得.
再由点M在椭圆C上,得,求得.
所以,
进而求得直线NH的方程:.
由求得.
进,
线段的中点坐标为.
∴以线段为直径的圆的方程为:.
(3)当直线的斜率不存在时,直线与椭圆C相切于点A,不合题意,
当直线的斜率为0时,由题意得.
当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为,
则点O到直线的距离为,从而由几何意义,得,
由于,故直线的方程为,由题意得它与椭圆C的交点R的坐标为,
于是.
故,
令,则,
当且仅当即时,上式取等号.
∵,故当时,,
此时直线的方程为:.(也可写成.)
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【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中,,,,点在上,且.
(1)证明:面;
(2)在棱上是否存在一点,使三棱锥是正三棱锥?证明你的结论.
(3)求以为棱,与为面的二面角的大小.
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【题目】某书店刚刚上市了《中国古代数学史》,销售前该书店拟定了5种单价进行试销,每本单价(元)试销l天,得到如表单价(元)与销量(册)数据:
单价(元) | |||||
销量(册) |
(1)已知销量与单价具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;
(2)若该书每本的成本为元,要使得售卖时利润最大,请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元?(结果保留到整数)
附:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+4=0与直线l2:x+ky-3=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为( )
A.2B.C.D.
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【题目】已知函数是定义在上的奇函数,当时,,给出下列命题:
①当时, ②函数有3个零点
③的解集为 ④,都有
其中正确命题的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】《九章算术》是中国古代第一部数学专著,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。“更相减损术”便出自其中,原文记载如下:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。”其核心思想编译成如示框图,若输入的,分别为45,63,则输出的为( )
A. 2B. 3C. 5D. 9
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【题目】我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期,某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( )
A. B. C. D.
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