精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列(其中an>0,k,n是正整数),S(k,n)表示k方数列的前n项的和.
(1)比较S(1,2)•S(3,2)与[S(2,2)]2的大小;
(2)若数列{an}的1方数列、2方数列都是等差数列,a1=a,求数列{an}的k方数列通项公式.
(3)对于常数数列an=1,具有关于S(k,n)的恒等式如:S(1,n)=S(2,n),S(2,n)=S(3,n)等等,请你对数列{an}的k方数列进行研究,写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S(k,n)的恒等式,并给出证明过程.

解:(1)S(1,2)=a1+a2,S(3,2)=a13+a23,S(2,2)=a12+a22…(2分)
∴S(1,2)•S(3,2)-[S(2,2)]2
=(a1+a2)(a13+a23)-(a12+a222…(4分)
=a1a23+a2a13-2a12a22
=a1a2(a1-a22
∵an>0,,∴S(1,2)•S(3,2)≥[S(2,2)]2…(5分)
(2)设an-an-1=d,an2-an-12=p…(7分)
则 d(an+an-1)=p…①d(an+1+an)=p…②
∴②-①得 2d2=0,∴d=p=0 …(9分)an=an-1,∴ank-an-1k=0
∴ank=ak…(11分)
(3)当an=n时,恒等式为[S(1,n)]2=S(3,n) …(15分)
证明:[S(1,n)]2=S(3,n)[S(1,n-1)]2=S(3,n-1),(n≥2,n∈N*)
相减得:an[S(1,n)+S(1,n-1)]=an3
∴[S(1,n)+S(1,n-1)]=an2[S(1,n-1)+S(1,n-2)]=an-12
相减得:an+an-1=an2-an-12,,an>0an-an-1=1,,a1=1
∴an=n…(18分)
分析:(1)由S(1,2)=a1+a2,S(3,2)=a13+a23,S(2,2)=a12+a22,知S(1,2)•S(3,2)-[S(2,2)]2=a1a2(a1-a22,由an>0,知S(1,2)•S(3,2)≥[S(2,2)]2
(2)设an-an-1=d,an2-an-12=p,则d(an+an-1)=p,d(an+1+an)=p,2d2=0,所以d=p=0,an=an-1,由此能求出ank=ak
(3)当an=n时,恒等式为[S(1,n)]2=S(3,n).证明:[S(1,n)]2=S(3,n)[S(1,n-1)]2=S(3,n-1),(n≥2,n∈N*)相减得:an[S(1,n)+S(1,n-1)]=an3,[S(1,n)+S(1,n-1)]=an2[S(1,n-1)+S(1,n-2)]=an-12,由此得证.
点评:本题考查数列和不等式的综合运用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列(其中an>0,k,n是正整数),S(k,n)表示k方数列的前n项和.
(Ⅰ)试比较S(1,2)•S(3,2)与[S(2,2)]2的大小;
(Ⅱ)若数列{an}满足:[S(1,n)]2=S(3,n),求数列{an}的通项公式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列(其中an>0,k,n是正整数),S(k,n)表示k方数列的前n项的和.
(1)比较S(1,2)•S(3,2)与[S(2,2)]2的大小;
(2)若数列{an}的1方数列、2方数列都是等差数列,a1=a,求数列{an}的k方数列通项公式.
(3)对于常数数列an=1,具有关于S(k,n)的恒等式如:S(1,n)=S(2,n),S(2,n)=S(3,n)等等,请你对数列{an}的k方数列进行研究,写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S(k,n)的恒等式,并给出证明过程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列(其中an>0,k,n是正整数),S(k,n)表示k方数列的前n项的和.
(1)比较S(1,2)•S(3,2)与[S(2,2)]2的大小;
(2)若数列{an}的1方数列、2方数列都是等差数列,a1=a,求数列{an}的k方数列通项公式.
(3)对于常数数列an=1,具有关于S(k,n)的恒等式如:S(1,n)=S(2,n),S(2,n)=S(3,n)等等,请你对数列{an}的k方数列进行研究,写出一个不是常数数列{an}的k方数列关于S(k,n)的恒等式,并给出证明过程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2008-2009学年湖北省孝感高中高三(上)9月月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列(其中an>0,k,n是正整数),S(k,n)表示k方数列的前n项和.
(Ⅰ)试比较S(1,2)•S(3,2)与[S(2,2)]2的大小;
(Ⅱ)若数列{an}满足:[S(1,n)]2=S(3,n),求数列{an}的通项公式.

查看答案和解析>>

同步练习册答案