【题目】(导学号:05856308)(12分)
如图,∠ABC=,O为AB上一点,3OB=3OC=2AB,PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,OA=1,且DA∥PO.
(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面COD;
(Ⅱ)求点O到平面BDC的距离.
【答案】(1) 见解析(2)
【解析】试题分析:(1)利用勾股定理得出PD⊥OD,由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD,于是PD⊥平面COD,从而有平面PBD⊥平面COD;
(2)由计算可求BD,BC,CD的值,利用余弦定理可求cos∠BCD,利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BCD的值,利用三角形面积公式可求S△BCD,S△BOC的值,利用体积相等VO﹣BCD=VD﹣BOC,即可得解点O到平面BDC的距离.
试题解析:
(Ⅰ)因为OA=1,所以PO=OB=2,DA=1.
由DA∥PO,PO⊥平面ABC,知DA⊥平面ABC,∴DA⊥AO,
从而DO=,PD=.在△PDO中,∵PO=2,∴△PDO为直角三角形,故PD⊥DO.
又∵OC=OB=2,∠ABC=,∴CO⊥AB,又PO⊥平面ABC,
∴PO⊥OC,又PO∩AB=O,∴CO⊥平面PAB,故CO⊥PD.∵CO∩DO=O,
∴PD⊥平面COD.又PD平面PBD,∴平面PBD⊥平面COD.
(Ⅱ)由计算得BD=,BC=2,CD=,所以cos∠BCD=,所以sin∠BCD=,
所以S△BCD=×2××=,
S△BOC=×2×2=2.
又VO-BCD=VD-BOC,所以××d=×1×2,解得d=,即点O到平面BDC的距离为.
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【题目】(导学号:05856263)
已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点N,过点N作圆M:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为P、Q,且|PQ|=.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过抛物线的焦点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点,A、B两点的横坐标均不为2,连接AM,BM并延长分别交抛物线于C、D两点,设直线CD的斜率为k2,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|2x+1|﹣|2x﹣3|,g(x)=|x+1|+|x﹣a|.
(l)求f(x)≥1的解集;
(2)若对任意的t∈R,s∈R,都有g(s)≥f(t).求a的取值范围.
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【题目】(1)选修4-2:矩阵与变换
求矩阵的特征值和特征向量.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆的方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程(是参数),若圆与圆相切,求实数的值.
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【题目】(导学号:05856295)德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学王子.19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》, 在其年幼时,对1+2+3+…+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也被称为高斯算法.现有函数f(x)=,则f(1)+f(2)+…+f(m+2017)等于( )
A. B. C. D.
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【题目】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元.
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【题目】(导学号:05856331)
甲、乙两家快餐店对某日7个时段的光顾的客人人数进行统计并绘制茎叶图如下图所示(下面简称甲数据、乙数据),且乙数据的众数为17,甲数据的平均数比乙数据平均数少2.
(Ⅰ)求a,b的值,并计算乙数据的方差;
(Ⅱ)现从乙数据中不大于16的数据中随机抽取两个,求至少有一个数据小于10的概率.
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【题目】已知定义域为A的函数f(x),若对任意的x1,x2∈A,都有f(x1+x2)-f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)为“定义域上的M函数”,给出以下五个函数:
①f(x)=2x+3,x∈R;②f(x)=x2,x∈;③f(x)=x2+1,x∈;④f(x)=sin x,x∈;⑤f(x)=log2x,x∈[2,+∞).
其中是“定义域上的M函数”的有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
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