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【题目】(导学号:05856308)(12分)

如图,∠ABCOAB上一点,3OB=3OC=2ABPO⊥平面ABC,2DA=2AOPOOA=1,且DAPO.

(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面COD

(Ⅱ)求点O到平面BDC的距离.

【答案】(1) 见解析(2)

【解析】试题分析:(1)利用勾股定理得出PDOD,由OC⊥平面ABPD得出OCPD,于是PD⊥平面COD,从而有平面PBD⊥平面COD;

(2)由计算可求BD,BC,CD的值,利用余弦定理可求cosBCD,利用同角三角函数基本关系式可求sinBCD的值,利用三角形面积公式可求SBCD,SBOC的值,利用体积相等VO﹣BCD=VD﹣BOC,即可得解点O到平面BDC的距离.

试题解析:

(Ⅰ)因为OA=1,所以POOB=2,DA=1.

DAPOPO⊥平面ABC,知DA⊥平面ABC,∴DAAO

从而DOPD.在△PDO中,∵PO=2,∴△PDO为直角三角形,故PDDO.

又∵OCOB=2,∠ABC,∴COAB,又PO⊥平面ABC

POOC,又POABO,∴CO⊥平面PAB,故COPD.∵CODOO

PD⊥平面COD.又PD平面PBD,∴平面PBD⊥平面COD.

(Ⅱ)由计算得BDBC=2CD,所以cos∠BCD,所以sin∠BCD

所以SBCD×2××

SBOC×2×2=2.

VOBCDVDBOC,所以××d×1×2,解得d,即点O到平面BDC的距离为.

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A. 2 B. 3

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