Question

16．如图，在四棱锥A-BCDE中，底面DEBC为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=$\sqrt{2}$，AB=AC．
（1）求证：BE⊥面ABC；
（2）设△ABC为等边三角形，求直线CE与平面ABE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得BE⊥BC，由此能证明BE⊥面ABC．
（2）由BE⊥面ABC，取AB的中点H，连接EH，则∠CEH是直线CE与平面ABE所成角，由此能求出直线CE与平面ABE所成角的大小．

解答 （1）证明：∵底面BCDE为矩形，∴BE⊥BC．
∵侧面ABC⊥底面BCDE，且交线为BC，BE?平面ABCD，
∴BE⊥面ABC．（5分）
（2）解：由（1）知BE⊥面ABC．
∵BE?平面ABE，
∴平面ABE⊥底面ABC，且交线为AB．
取AB的中点H，连接EH．∵ABC为等边三角形
∴CH⊥AB，CH⊥平面ABE．
∴∠CEH是直线CE与平面ABE所成角．（9分）
在矩形BCDE中，CE=$\sqrt{6}$．在正△ABC中，CH=$\sqrt{3}$，
∴sin∠CEH=$\frac{CH}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$∠CEH=\frac{π}{4}$，
∴直线CE与平面ABE所成角的大小为$\frac{π}{4}$．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．