Question

已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为α﹑β，则cos²α+cos²β=1．若把它推广到空间长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C与平面A₁B、A₁C₁、A₁D所成的角分别为α、β、γ，则

sin²α+sin²β+sin²γ=1

．

Answer 1

分析：由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos²α+cos²β=1，我们根据平面性质可以类比推断出空间性质，我们易得答案．

解答：解：有如下命题：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线A₁C与平面A₁B、A₁C₁、A₁D所成的角分别为α、β、γ，则 sin²α+sin²β+sin²γ=1…（4分）
证明：如图，对角线A₁C与平面A₁B所成的角为∠CA₁B=α，
在直角三角形CA₁B中，
∵sinα=

BC

A 1C

，
同理：sinβ=

CC 1

A 1C

，sinγ=

CD

A 1C

…（10分）
∴sin2α+sin2β+sin2γ=

BC2+CC 12+CD′2

A 1C2

=

A 1C2

A 1C2

=1…（13分）．
故答案为：sin²α+sin²β+sin²γ=1．

点评：本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．