Question

（2011•重庆模拟）已知函数f（x）=x³-2ax²-3x，x∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=0时，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3，根据二次函数的图象和性质，我们易判断出导函数的符号，进而根据导数符号与单调性的关系，即可得到函数的单调性．
（II）由已知中x∈（0，+∞）时，f（x）≥ax恒成立，我们可以构造函数g（x）=x²-2ax-（3+a），根据二次函数的图象和性质，构造关于a的不等式，进而得到答案．

解答：解：（I）当a=0时，f（x）=x³-3x，故f'（x）=3x²-3…（1分）
因为当x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0
故f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减．…（5分）
（II）由题意可知x³-2ax²-3x≥ax在（0，+∞）上恒成立，
即x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立．…（7分）
令g（x）=x²-2ax-（3+a），
因为△=(-2a)2+4(a+3)=4(a+

1

2

)2+11＞0…（9分）
故x²-2ax-（3+a）≥0在（0，+∞）上恒成立等价于

a＜0 g(0)≥0

即

a＜0 -a-3≥0

解得a≤-3…（12分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，其中（I）的关键是由函数的解析式，求了导函数的解析式，（II）的关键是将问题转化为二次函数恒成立问题．