Question

如图，放置的边长为1的正三角形PAB沿 x轴滚动．设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f（x），记f（x）的最小正周期为T；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积记为S，则S•T=

 

．

Answer 1

分析：由已知中长为1的正三角形PAB沿 x轴滚动，我们易画出滚动过程中点P的国轨迹，顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f（x），由图象我们易分析出f（x）的最小正周期T的值，；由其点P的轨迹图象可以得出其轨迹与X轴所围成的图形是一个个相邻的半圆，即两零点之间的图象与X轴围成的图形是2个

1

3

圆，由公式计算出面积即可得到答案．

解答：解：由已知中边长为1的正三角形PAB沿 x轴滚动
则滚动二次后，P点的纵坐标和起始位置一样第三次滚动时以点P为圆心，故点P不动，
故函数y=f（x）是以3为周期的周期函数，即T=3
两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积如下图所示：
由图可知，其两个零点之间所围成的面积为以1为半径的2个

1

3

圆再加上一个边长为1的正三角形的面积，故其面积是

2π

3

+

3

4

，即S=

2π

3

+

3

4

，
所以S×T=2π+

3 3

4

，
故答案为：2π+

3 3

4

点评：本题考查的知识点是函数的图象及图象变化，其中根据已知条件画出满足条件的函数的图象，是解答本题的关键．本题较抽象，其中判断周期易出错，要明白研究的函数是点P的横纵坐标之间的函数的关系，如此则不易出错了