Question

2．已知数列{a_n}中各项都为正数，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求：
（1）a_n的通项公式？
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求{b_n}的前n项和T_n？

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，∴S_n=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$，
当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}中各项都为正数，∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．