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(2008•临沂二模)已知点H(0,-3),点P在x轴上,点Q在y轴正半轴上,点M在直线PQ上,且满足
HP
PM
=0,
PM
=-
3
2
MQ

(I)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)设动点M的轨迹为C,如果过定点A(x0,y0)的直线与曲线C相交不同的两点S、R,求证:曲线C在S、R两点处的切线的交点在一条定直线上.
分析:(I)设P(a,0),Q(0,b)(b>0),M(x,y).利用
HP
PM
=0
,即可得到a,b的关系,再利用
PM
=-
3
2
MQ
,即可用x,y表示a,b,进而得到点M的轨迹方程.
(II)解法一:设S(x1
1
4
x
2
1
),R(x2
1
4
x
2
2
)(x1x2)
,即得直线SR的方程,又A点在SR上,即可得到y0=
1
4
(x1+x2)x0-
x1x2
4

y=
1
4
x2
求导得:y=
1
2
x
.即可得到抛物线上S、R处的切线方程,联立解得x,y代入①得即可.
解法二:当过点A的直线斜率不存在时与题意不符.设直线SR的方程为y-y0=k(x-x0),与抛物线方程联立即可得到根与系数的关系.设S1(x1
1
4
x
2
1
),R(x2
1
4
x
2
2
)(x1x2)
,由过S,R点的切线方程联立可得交点的坐标,再利用根与系数的关系,即可得出.
解答:解:(I)设P(a,0),Q(0,b)(b>0),
点M在直线PQ上,
HP
PM
=0

HP
PQ
=(a,3)•(-a,b)=-a2+3b=0

∴a2=3b,
设M(x,y),由
PM
=-
3
2
MQ
得,
(x-a,y)-=
3
2
(-x,-y+b)

x-a=
3
2
x
y=
3
2
(y-b)
a=
1
2
x
b=
1
3
y(b>0)

y=
1
4
x2(x≠0)

点M的轨迹方程为y=
1
4
x2(x≠0)

(II)解法一:设S(x1
1
4
x
2
1
),R(x2
1
4
x
2
2
)(x1x2)

则直线SR的方程为:y-
1
4
x
2
1
=
1
4
x
2
2
-
1
4
x
2
1
x2-x1
(x-x1)

y=
1
4
(x1+x2)x-
x1x2
4

∵A点在SR上,
y0=
1
4
(x1+x2)x0-
x1x2
4

y=
1
4
x2
求导得:y=
1
2
x

∴抛物线上S、R处的切线方程为:y-
1
4
x
2
1
=
1
2
x1(x-x1)即y=
x1x
2
-
x
2
1
4

y-
1
4
x
2
2
=
1
2
x2(x-x2)即y=
x2x
2
-
x
2
2
4

联立②③,并解之得
x=
x1+x2
2
y=
1
4
x1x2
代入①得
y0=
x0x
2
-y,即x0x-2y-2y0=0

故切线的交点在定直线x0x-2y=2y0=0上.
解法二:当过点A的直线斜率不存在时与题意不符.设直线SR的方程为y-y0=k(x-x0
代入抛物线方程得x2-4kx+4x0k-4y0=0.
S1(x1
1
4
x
2
1
),R(x2
1
4
x
2
2
)(x1x2)

由韦达定理
x1+x2=4k
x1x2=4(x0k-y0)
(*)
又过S,R点的切线方程分别是:y=
x1
2
x-
x
2
1
4
,y=
x2
2
x-
x
2
2
4

两切线的交点为
x=
x1+x2
2
y=
1
4
x1x2

代入(*)得
x=2k
y=x0k-y0
(k为参数)

消去k,得x0x-2y-2y0=0
故切线的交点在定直线x0x-2y-2y0=0上.
点评:熟练掌握向量的运算、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、导数的几何意义、切线方程等是解题的关键.
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