定义在D上的函数.如果满足:存在常数M＞0.对任意x∈D都有|f是D上的有界函数．(1)试判断函数f(x)=2sin(x+π6)+3在实数集R上.函数g(x)=x3+3x在[13.3]上是不是有界函数?若是.请给出证明,若不是.请说出理由．(2)若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为S(t)=14t4+3lnt-at.要使在t∈[13.3]上每一时刻的瞬时速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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定义在D上的函数，如果满足：存在常数M＞0，对任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．
（1）试判断函数f(x)=2sin(x+

)+3在实数集R上，函数g(x)=x3+

在[

，3]上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由．
（2）若已知某质点的运动距离S与时间t的关系为S(t)=

t4+3lnt-at，要使在t∈[

，3]上每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于13，求实数a的取值范围．

（1）∵函数f(x)=2sin(x+

)+3在R上的最大值为5，最小值为-1，
存在常数M=5，对任意x∈R都有|f（x）|≤M，∴f（x）在R上是有界函数．
∵g(x)=x3+

，x∈[1，3]，∴g/(x)=3x2-

，
由g/(x)=3x2-

=0，得x=1或x=-1
所以g（x）在[

，1]上单调递减，g（x）在[1，3]上单调递增，而g(3)＞g(

)
∴g（x）在[

，3]上的最大值为g（3）=28，最小值为g（1）=4
所以存在常数M=28，对任意x∈[

，3]都有|g（x）|≤M，∴g（x）是[

，3]上是有界函数．
（2）因为运动方程为S(t)=

t4+3lnt-at，所以瞬时速度V(t)=S/(t)=t3+

-a
由当t∈[

，3]时，|V（t）|≤13恒成立，即|t3+

-a|≤13对t∈[

，3]恒成立
即

a≥t3+

-13

a≤t3+

+13

对t∈[

，3]恒成立，由（1）可得15≤a≤17
所以实数a的取值范围[15，17]

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在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）在D上既有上界又有下界，则称函数f（x）在D上有界，函数f（x）叫做有界函数．试探究函数f（x）=ax³+

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