Question

设函数

f(x)= 1-x &(x∈(-∞，1]

）．
（1）求函数y=f（2x）的定义域；
（2）用函数单调性的定义证明

f(x)= 1-x &(x∈(-∞，1]

）在其定义域上为减函数．

Answer 1

分析：（1）由2x≤1，得x≤

1

2

，由此能求出y=f（2x）的定义域．
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，1]，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1-x1

-

1-x2

=

( 1-x1 )2-( 1-x2 )2

1-x1 + 1-x2

=

x2-x1

1-x1 + 1-x2

，由此进行讨论，能够证明f（x）在定义域（-∞，1]上为减函数．

解答：解：（1）由2x≤1，得x≤

1

2

，
所以，y=f（2x）的定义域为(-∞，

1

2

]．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（-∞，1]，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1-x1

-

1-x2

=

( 1-x1 )2-( 1-x2 )2

1-x1 + 1-x2

=

x2-x1

1-x1 + 1-x2

，

∵x1＜x2≤1

，

∴ 1-x1

＞

0，

1-x2

≥0

x2-x1＞0

∴

f(x1)-f(x2)＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，f（x）在定义域（-∞，1]上为减函数．

点评：本题考查定义域的求法和单调性的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意熟练掌握常规解题方法．