Question

1．已知数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n对于任意n∈N^*恒成立，且a₁=1，a₃=2，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+$\frac{1}{2}$b_n=1（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n
（1）求T_n
（2）求满足不等式$\frac{{T}_{n}}{1-{S}_{n}}$≤9的所有的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的定义可得数列{a_n}为等差数列，求出公差，即可得到通项公式，根据递推关系可得数列{b_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，即可求出通项公式
（Ⅱ）（1）根据错位相减法即可求出数列{c_n}的前n项和为T_n
（2）先求出1-S_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，再根据不等式$\frac{{T}_{n}}{1-{S}_{n}}$≤9转化为9+$\frac{2n+5}{4}$≥$\frac{5}{4}$•3n，再分别验证即可求出n的值．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n对于任意n∈N^*恒成立，
∴数列{a_n}为等差数列，
∵a₁=1，a₃=2，
∴2d=a₃-a₁=2-1=1，
∴d=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+$\frac{1}{2}$b_n=1，
当n=1时，S₁+$\frac{1}{2}$b₁=1，即b₁=$\frac{2}{3}$，
当n≥2时，S_n-1+$\frac{1}{2}$b_n-1=1，
∴S_n+$\frac{1}{2}$b_n-（S_n-1+$\frac{1}{2}$b_n-1）=0
即3b_n=b_n-1，
∴数列{b_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴b_n=2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
（Ⅱ）由b_n=2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴1-S_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∵c_n=a_n•b_n=（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴T_n=2•（$\frac{1}{3}$）¹+3•（$\frac{1}{3}$）²+…+（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{3}$T_n=2•（$\frac{1}{3}$）²+3•（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ+（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{3}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（n+1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{5}{6}$-$\frac{2n+5}{6}$•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴T_n=$\frac{5}{4}$-$\frac{2n+5}{4}$•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∵$\frac{{T}_{n}}{1-{S}_{n}}$≤9，
∴$\frac{5}{4}$-$\frac{2n+5}{4}$•（$\frac{1}{3}$）ⁿ≤9•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴$\frac{5}{4}$≤（9+$\frac{2n+5}{4}$）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
即9+$\frac{2n+5}{4}$≥$\frac{5}{4}$•3n，
当n=1时，左边=$\frac{43}{4}$，右边=$\frac{15}{4}$，成立，
当n=2时，左边=$\frac{45}{4}$，右边=$\frac{45}{4}$，成立，
当n=3时，左边=$\frac{47}{4}$，右边=$\frac{135}{4}$，故不成立，
综上所述n的值为1，2

点评 本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及错位相减法求和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题