Question

已知圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2-2

2

ρcos(θ-

π

4

)=2．
（1）把圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O₂的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆O₂的直角坐标方程及圆O₁直角坐标方程．
（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．

解答：解：（1）ρ=2?ρ²=4，所以x²+y²=4；因为ρ2-2

2

ρcos(θ-

π

4

)=2，
所以ρ2-2

2

ρ(cosθcos

π

4

+sinθsin

π

4

)=2，所以x²+y²-2x-2y-2=0．（5分）
（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

．（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．