Question

13．若不等式（1-x）e^ax＜1+x在x∈（0，1）上恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，2]．

Answer 1

分析 将原不等式变形即为ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax＞0在x∈（0，1）上恒成立．令f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax（0＜x＜1），求出导数，对a讨论，当a≤2时，当a＞2时，运用单调性，即可得到a的范围．

解答 解：不等式（1-x）e^ax＜1+x在x∈（0，1）上恒成立，
即为e^ax＜$\frac{1+x}{1-x}$，即ax＜ln$\frac{1+x}{1-x}$，
即ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax＞0在x∈（0，1）上恒成立．
令f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$-ax（0＜x＜1），
f′（x）=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-a，
由0＜x＜1可得$\frac{2}{1-{x}^{2}}$＞2，
当a≤2时，f′（x）＞0恒成立，即有f（x）＞f（0）=0；
当a＞2时，f′（x）＞0不恒成立，故舍去．
综上可得a的取值范围是（-∞，2]．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，运用单调性是解题的关键．