Question

2010年9月5日生效的一年期个人贷款利率为7.29%，小陈准备购买一部汽车，购车一年后一次性付清车款，这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务，年利率为x，且x∈（0.045，0.062），贷款量与利率的平方成正比，因此，小陈申请这种一年期优惠贷款．（利息=贷款量乘以利率）
（1）写出小陈采用优惠贷款方式贷款应支付的利息h（x）；
（2）一年期优惠利率x为多少时，两种贷款的利息差最大？

Answer 1

分析：（1）由贷款量与利率的平方成正比求出贷款量，乘以利率得利息；
（2）求出采用2010年9月5日生效的一年期个人贷款应付利息，两种贷款利息作差后利用导数求最值．

解答：解：（1）∵贷款量与利率的平方成正比，
∴贷款量为kx²（k＞0），应支付利息h（x）=kx²•x=kx³，x∈（0.045，0.062）；
（2）若小陈采用2010年9月5日生效的一年期个人贷款，则应付利息为0.0729kx²．
小陈的两种贷款方式的利息差为y=0.0729kx²-kx³，x∈（0.045，0.062）．
y′=0.145kx-3kx²，令y′=0，解得x=0或x=0.0486．
当x∈（0.045，0.0486）时，y′＞0，当x∈（0.0468，0.062）．
∴x=0.0468时，利息差取得极大值，即一年期优惠利率为4.68%时，利息差最大．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．