Question

（本小题满分12分）

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，，点M、N分别在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）。

（Ⅰ）求证：AB∥平面DNC；

（Ⅱ）当DN的长为何值时，二面角D－BC－N的大小为？

Answer 1

解：（1）∵MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

∴MB∥平面DNC.                                             …………2分

同理MA∥平面DNC，

又MA∩MB＝M且MA、MB平面MAB，

∴平面MAB∥平面NCD，                                      …………4分

又AB平面MAB，

∴AB∥平面NCD.                                              …………5分

（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，连结DH，                    …………6分

     ∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN

∴DN⊥平面MNCB，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角。                         …………8分

由BC＝2，MB＝4，MC⊥CB，知，

∴                                       …………10分

由条件知：，

∴                                 …………12分

       （如用向量法做，也按相应步骤给分）