Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线 

x=cosφ y=sinφ

（φ为参数），经坐标变换

x′=ax y′=by

（a＞0，b＞0）后所得曲线记为C．A、B是曲线C上两点，且OA⊥OB．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求证：点O到直线AB的距离为定值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,伸缩变换

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先，根据坐标变换，得到曲线C的参数方程，然后，消去参数，得到其普通方程；
（2）利用点到直线的距离公式求解和化简即可．

解答： 解：（1）∵

x′=ax y′=by

（a＞0，b＞0），
∴，

x′ a =cosφ y′ b =sinφ

，
∴

x′=acosφ y′=bsinφ

（φ为参数）为曲线C的参数方程．    …（3分）         
消参可得曲线C的普通方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）…（6分）
（2）以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系．   …（7分）
所以有

ρ2cos2θ

a2

+

ρ2sin2θ

b2

=1，
∴ρ2=

1

cos2θ a2 + sin2θ b2

=

a2b2

b2cos2θ+a2sin2θ

，

设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

），则
|AB|=

ρ12+ρ22

，
∴点O到AB直线的距离为

|OA|•|OB|

|AB|

=

ρ1ρ2

ρ12+ρ22

=

1

1 ρ22 + 1 ρ12

=

ab

a2+b2

∴点O到AB直线的距离为定值．…（12分）

点评：本题重点考查了参数方程、距离公式等知识，属于中档题．