Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c．
（I）若a，b，c成等比例数列，求角B的范围；
（II）若acosB+bcosA=2ccosC，且sinA=2sinB，边c∈(

1

2

，4]时，求△ABC面积的范围．

Answer 1

（I）由题意知a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
不妨设a≤b≤c，
由余弦定理得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
根据B为三角形内角，可得0＜B≤

π

3

，
则角B的范围为（0，

π

3

]；
（II）∵bcosA+acosB=2ccosC，①
由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）
将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，
化简，得sin（A+B）=2sinCcosC．（5分）
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
∴sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

，
将②代入sinA=2sinB得：a=2b，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
把a=2b代入得：c²=4b²+b²-2b²=3b²，
∴c=

3

b，即b=

3

3

c，
∵a=2b，sinC=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

×2b²=

3

6

c²，
又c∈（

1

2

，4]，
∴c²∈（

1

4

，16]，
∴

3

24

＜

3

6

c²≤

8 3

3

，
则S_△ABC的范围为（

3

24

，

8 3

3

]．