Question

如图，在正方体AC₁中，

（1）求BC₁与平面ACC₁A₁所成的角；

（2）求A₁B₁与平面A₁C₁B所成的角.

Answer 1

解析：(1)设所求角为α,先证BD⊥平面ACC₁A₁，则sinα=sin∠OC₁B=,故α=30°.

(2)△A₁B₁C₁是正三角形，且A₁B₁=B₁C₁=BB₁.?

∴棱锥B₁—A₁BC₁是正三棱锥.过B₁作B₁H⊥平面A₁BC₁，连结A₁H，∠B₁A₁H是A₁B₁与平面A₁C₁B所成的角.?

设A₁B₁=a,则A₁B= ,得A₁H=.?

故cos∠B₁A₁H=，所求角为arccos.?

另法：连结B₁C交BC₁于E，连结A₁E，过B₁作B₁H⊥A₁E于H，得B₁E⊥BC₁，BC₁⊥A₁B₁，∴BC₁⊥平面A₁B₁E.∴BC₁⊥B₁H.∴B₁H⊥平面ABC₁.?

∴θ=∠B₁A₁H为所求角.?

∴在△B₁A₁E中，tanθ=.  ∴θ=arctan.