Question

4．下列命题中正确的序号是②③
①平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，$\overrightarrow{a}$=（2，0），|$\overrightarrow{b}$|=1，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\sqrt{3}$．
②有一底面积半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到O点的距离大于1的概率为$\frac{2}{3}$．
③命题：“?x∈（0，+∞），不等式cosx＞1-$\frac{1}{2}$x²恒成立”是真命题．
④在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{y≤2}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则$\frac{ab}{2a+b}$的最大值等于$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 ①根据投影公式代入求出即可判断；②根据球和圆柱的体积公式求出即可；③构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而得到结论；④画出平面区域，结合基本不等式的性质从而求出代数式的最大值．

解答 解：①则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为：|$\overrightarrow{a}$|cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，故①错误；
②∵到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图，
，
则点P到点O的距离大于1的概率为：
P=$\frac{半球外的体积}{圆柱的体积}$=$\frac{圆柱的体积-半球的体积}{圆柱的体积}$=$\frac{2π-\frac{2π}{3}}{2π}$=$\frac{2}{3}$，
故②正确；
③构造函数h（x）=cosx-1+$\frac{1}{2}$x²，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=-cosx+1≥0，∴h′（x）在（0，+∞）上单调增
∴h′（x）＞h′（0）=0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调增，∴h（x）＞0，
∴cosx＞1-$\frac{1}{2}$x²，即不等式恒成立，
故③正确；
④：约束条件对应的平面区域如图

3个顶点是（1，0），（1，2），（-1，2），
由图易得目标函数在（1，2）取最大值6，
此时a+2b=6，
∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：a+2b=6≥2$\sqrt{a•2b}$，
∴ab≤$\frac{9}{2}$，当且仅当：a=2b即：a=3，b=$\frac{3}{2}$时“=”成立，
要求$\frac{ab}{2a+b}$的最大值转化为求$\frac{2a+b}{ab}$的最小值即可，
而$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{2}{b}$+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{\frac{2}{b}•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$≥2$\sqrt{\frac{2}{\frac{9}{2}}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{ab}{2a+b}$的最大值等于$\frac{4}{3}$，
故④错误，
故答案为：②③．

点评 本题考查了向量的运算，考查概率问题，考查函数恒成立问题，基本不等式性质的应用以及线性规划问题，是一道综合题．