Question

8．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE=6，AF=2．
（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过K作KM⊥BD，交BD于M，则AF⊥平面ABCD，从而AF⊥BD，四边形FAMK为平行四边形，进而AM∥平面BEF，由此求出M为BD的一个三等分点（靠近点B）．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-C的余弦值．

解答 解：（1）取BE的三等分点K（靠近点B），则有$kM=\frac{1}{3}DE=2$，
过K作KM⊥BD，交BD于M，
∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，∴AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥BD，∴FA∥KM，且FA=KM，
∴四边形FAMK为平行四边形，∴AM∥FK，
∵AM?平面BEF，FK?平面BEF，∴AM∥平面BEF，
∵$\frac{MK}{ED}=\frac{BM}{BD}=\frac{1}{3}$，
∴M为BD的一个三等分点（靠近点B）．…（5分）
（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（3，3，0），E（0，0，6），C（0，3，0），
$\overrightarrow{EB}$=（3，3，-6），$\overrightarrow{AB}$=（0，3，0），$\overrightarrow{BC}$=（-3，0，0），
设平面AEB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{3{x_1}+3{y_1}-6{z_1}=0}\\{3{y_1}=0}\end{array}}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1）…（8分）
平面BCE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{2}+3{y}_{2}-6{z}_{2}=0}\\{-3{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），
设二面角A-BE-C的平面角为θ，
二面角A-BE-C为钝二面角，
∴cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{5}$．
∴二面角A-BE-C的余弦值为-$\frac{1}{5}$．…（12分）

点评 本题考查满足线面平行的点的确定，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．