精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
8.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,且DE=6,AF=2.
(1)试在线段BD上确定一点M的位置,使得AM∥平面BEF;
(2)求二面角A-BE-C的余弦值.

分析 (1)过K作KM⊥BD,交BD于M,则AF⊥平面ABCD,从而AF⊥BD,四边形FAMK为平行四边形,进而AM∥平面BEF,由此求出M为BD的一个三等分点(靠近点B).
(2)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-BE-C的余弦值.

解答 解:(1)取BE的三等分点K(靠近点B),则有$kM=\frac{1}{3}DE=2$,
过K作KM⊥BD,交BD于M,
∵DE⊥平面ABCD,AF∥DE,∴AF⊥平面ABCD,
∴AF⊥BD,∴FA∥KM,且FA=KM,
∴四边形FAMK为平行四边形,∴AM∥FK,
∵AM?平面BEF,FK?平面BEF,∴AM∥平面BEF,
∵$\frac{MK}{ED}=\frac{BM}{BD}=\frac{1}{3}$,
∴M为BD的一个三等分点(靠近点B).…(5分)
(2)如图,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(3,0,0),B(3,3,0),E(0,0,6),C(0,3,0),
$\overrightarrow{EB}$=(3,3,-6),$\overrightarrow{AB}$=(0,3,0),$\overrightarrow{BC}$=(-3,0,0),
设平面AEB的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x1,y1,z1),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{{\begin{array}{l}{3{x_1}+3{y_1}-6{z_1}=0}\\{3{y_1}=0}\end{array}}\right.$,取z1=1,得$\overrightarrow{n}$=(2,0,1)…(8分)
平面BCE的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x2,y2,z2),
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{2}+3{y}_{2}-6{z}_{2}=0}\\{-3{x}_{2}=0}\end{array}\right.$,得$\overrightarrow{m}$=(0,2,1),
设二面角A-BE-C的平面角为θ,
二面角A-BE-C为钝二面角,
∴cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{5}$.
∴二面角A-BE-C的余弦值为-$\frac{1}{5}$.…(12分)

点评 本题考查满足线面平行的点的确定,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

18.已知f(x)=x2,g(x)=-log3x-m,若存在x1∈[-1,3],x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是[-10+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

19.已知$\overrightarrow m$=($\sqrt{3}$sinx,2),$\overrightarrow n$=(2cosx,cos2x),f(x)=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$.
(1)求f(x)的解析式及最小正周期
(2)求f(x)的单调增区间.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

16.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,E是AB中点,A1E⊥平面ABC.
(I)证明:BC1∥平面 A1EC;
(II)若 A1A⊥A1B,且AB=2,求三棱锥 B1-ACA1的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

3.已知函数f(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{{e^x},x>0}\\{f(x+1),x≤0}\end{array}}$,则f(ln$\frac{1}{4}$)=$\frac{{e}^{2}}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.如图,已知多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,EF∥平面ABCD,M为FC的中点,AB=2,EF到平面ABCD的距离为2.
(1)证明:AF∥平面MBD;
(2)若AF⊥BD,点F在平面ABCD上的射影为点C,求二面角M-BD-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.已知直线y=kx+1(k≠0)交抛物线x2=4y于E、F两点,以EF为直径的圆被x轴截得的弦长为2$\sqrt{7}$,则k=±1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

17.设实数x,y满足$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤10\\ x+2y≤14\\ x+y≥6\end{array}\right.$,则xy的最大值为(  )
A.$\frac{25}{2}$B.$\frac{49}{2}$C.12D.14

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

2.已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}2&a\\ 2&1\end{array}}]({a∈R})$的一个特征值为-1,求矩阵A的另一个特征值及对应的特征向量.

查看答案和解析>>

同步练习册答案