Question

3．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象上一个最高点的坐标为（$\frac{π}{12}$，3），与之相邻的一个最低点的坐标为（$\frac{7π}{12}$，-1）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ） 当x∈[$\frac{π}{2}$，π]，求函数f（x）的零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意可得T，由周期公式可求ω，由$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$解得A，B，把（$\frac{π}{12}$，3）代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，从而得解．
（Ⅱ）令f（x）=0，得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，又x∈[$\frac{π}{2}$，π]，可得$\frac{4π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{7π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的零点．

解答 解：（Ⅰ）依题意可得：$\frac{T}{2}=\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}=\frac{π}{2}$，所以T=π，于是$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}{A+B=3}\\{-A+B=-1}\end{array}\right.$解得A=2，B=1，…（4分）
把（$\frac{π}{12}$，3）代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，可得sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，所以$\frac{π}{6}$+φ=2k$π+\frac{π}{2}$，
所以φ=2k$π+\frac{π}{3}$，因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，
综上所述，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1  …（7分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，又x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴$\frac{4π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{7π}{3}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{11π}{6}$，故x=$\frac{3π}{4}$，
 函数f（x）的零点是x=$\frac{3π}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．