Question

11．在锐角△ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，若2acosC+c=2b，则$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 锐角△ABC中，利用余弦定理求出cosA以及A的值，再求出B的取值范围，化简$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$，即可求它的取值范围．

解答 解：锐角△ABC中，2acosC+c=2b，
∴2a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c=2b，
即a²+b²-c²+bc=2b²，
∴bc=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
得A=$\frac{π}{3}$；
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1；
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1+cosB}{2}$=sin（B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
它的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了三角恒等变换以及余弦定理的应用问题，是综合性题目．