分析 锐角△ABC中,利用余弦定理求出cosA以及A的值,再求出B的取值范围,化简$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos2$\frac{B}{2}$,即可求它的取值范围.
解答 解:锐角△ABC中,2acosC+c=2b,
∴2a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c=2b,
即a2+b2-c2+bc=2b2,
∴bc=b2+c2-a2,
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$,
得A=$\frac{π}{3}$;
∴B+C=$\frac{2π}{3}$,
∴$\frac{π}{6}$<B<$\frac{π}{2}$,
∴$\frac{π}{3}$<B+$\frac{π}{6}$<$\frac{2π}{3}$,
得$\frac{\sqrt{3}}{2}$<sin(B+$\frac{π}{6}$)≤1;
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos2$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1+cosB}{2}$=sin(B+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
它的取值范围是($\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,$\frac{3}{2}$].
故答案为:($\frac{\sqrt{3}+1}{2}$,$\frac{3}{2}$].
点评 本题考查了三角恒等变换以及余弦定理的应用问题,是综合性题目.
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A. | $\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$ | B. | 2-a<2-b | C. | a2>b2 | D. | ac≥bc |
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A. | $\frac{3}{5}$ | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{5}{3}$ | D. | $\frac{5}{4}$ |
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