Question

已知经过点A（1，-3），B（0，4）的圆C与圆x²+y²-2x-4y+4=0相交，它们的公共弦平行于直线2x+y+1=0．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，求出两圆的公共弦方程为（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，利用圆C经过点A（1，-3），B（0，4），公共弦平行于直线2x+y+1=0，建立方程组

- D+2 E+4 =-2 D-3E+F+10=0 4E+F+16=0

，从而可求圆C的方程；
（Ⅱ）圆C的圆心为C（-3，0），半径r=5．根据动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切，可得|MC|-|MP|=5＜|PC|=6，从而动圆M圆心的轨迹是以C，P为焦点，实轴长为5的双曲线的右支，进而可求动圆圆心M的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆C与圆x²+y²-2x-4y+4=0相交
∴两圆的公共弦方程为（D+2）x+（E+4）y+F-4=0，
∵圆C经过点A（1，-3），B（0，4），公共弦平行于直线2x+y+1=0
∴

- D+2 E+4 =-2 D-3E+F+10=0 4E+F+16=0

，∴

D=6 E=0 F=-16

∴圆C的方程为x²+y²+6x-16=0，即（x+3）²+y²=25．（4分）
（Ⅱ）圆C的圆心为C（-3，0），半径r=5．
∵动圆M经过一定点P（3，0），且与圆C外切
∴|MC|-|MP|=5＜|PC|=6．
∴动圆M圆心的轨迹是以C，P为焦点，实轴长为5的双曲线的右支．（7分）
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∵c=3，a=

5

2

∴b2=c2-a2=

11

4

，
故动圆圆心M的轨迹方程是

x2

25 4

-

y2

11 4

=1(x＞0)．（8分）

点评：本题重点考查轨迹方程的求解，考查待定系数法的运用，认真审题，挖掘隐含是解题的关键．