Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，且PA=AD．

（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）设二面角D﹣AE﹣C为60°，且AP=1，求D到平面AEC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD交AC于O点，则O为BD的中点，连结OE，

∵E为PD的中点，∴PB∥OE

又∵OE平面AEC，PB平面AEC

∴PB∥平面AEC；

（2）证明：（几何法）：∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD

∴在直角△PAD中，PA=ADE为PD的中点，

∴AE⊥PD

又∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，

∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD

∵AE平面PAD，∴AE⊥CD，∵PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD．

（向量法）：由题知 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，

如图以A点为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系A﹣xyz

设AB=a，AD=b，则

∴ ，

∴ ）

∴AE⊥DC，AE⊥DP，

∵DP∩DC=D，∴AE⊥平面PCD

（3）解：由（2）知平面DAE的法向量是 ，

∵AP=1，∴ ，

∴ ，

设平面AEC的法向量是 ，

∴ ，

∴ ，令z=1，得 ，∴

∴ ，

解得

∵ ，

∴D到平面AEC的距离

【解析】（1）连接BD交AC于O点，则O为BD的中点，从而PB∥OE，由此能证明PB∥平面AEC．（2）（几何法）：推导出PA⊥AD，PA⊥CD，从而AE⊥PD，再推导出AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AE⊥CD，由此能证明AE⊥平面PCD．（2）（向量法）：以A点为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AE⊥平面PCD．（3）求出平面DAE的法向量和平面AEC的法向量，利用向量法能求出D到平面AEC的距离．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．