Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax，a＞0．
（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；
（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），f'（x）=ex﹣a，

令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的单调递增区间是（lna，+∞）；

令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的单调递减区间是（﹣∞，lna），

函数f（x）在x=lna处取极小值，

g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，

当0＜a＜1时，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上单调递增；

当a＞1时，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上单调递减，

所以a=1是函数g（a）在（0，+∞）上唯一的极大值点，也是最大值点，

所以g（a）max=g（1）=1

（2）解：当x≤0时，a＞0，ex﹣ax≥0恒成立，

当x＞0时，f（x）≥0，即ex﹣ax≥0，即

令 ，

当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0，

故h（x）的最小值为h（1）=e，

所以a≤e，故实数a的取值范围是（0，e]

f（a）=ea﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=ea﹣2a，由上面可知ea﹣2a≥0恒成立，

故f（a）在（0，e]上单调递增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=ee﹣e2，

即f（a）的取值范围是（1，ee﹣e2]

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最大值即可；（2）通过讨论x的范围，问题转化为 ，根据函数的单调性求出f（a）的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．