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已知点P是双曲线
x2
a2
-
y2
9
=1(a>0)上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,点I为△PF1F2的内心,有关下列命题:
①若S△PF1F2=3
3
,则∠F1PF2=
3

②若离心率为
5
4
,且|S △IPF1-S △IPF2|=λS △IF1F2,则λ=
4
5

③若离心率为
5
4
,则点I的横坐标x1满足:|x1|=4
④若点I的横坐标x1满足:|x1|=3,则双曲线的半焦距c=3
2

其中正确的命题序号是
 
考点:双曲线的简单性质
专题:计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:运用双曲线的定义和余弦定理、面积公式,结合二倍角公式即可判断①;
运用双曲线的定义和三角形的面积公式,计算即可判断②;
运用离心率公式和a,b,c的关系,求得a=4,再由圆的切线性质,计算即可判断③;
由③的结论,结合a,b,c的关系,即可判断④.
解答: 解:对于①,不妨设点P在双曲线的右支上,
设|PF1|=m,|PF2|=n则有m-n=2a,
由于∠F1PF2=θ,由余弦定理得m2+n2-2mncosθ=4c2
S△PF1F2=3
3
,∴
1
2
mnsinθ=3
3

∵c2-a2=9,则可得,
1-cosθ
sinθ
=
3
,由二倍角公式可得tan
θ
2
=
3

θ
2
=
π
3
,即∠F1PF2=
3
,则①对;
对于②,设△PF1F2的内切圆半径为r,
由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
S△IPF1 =
1
2
|PF1|•r,S△IPF2=
1
2
|PF2|•r,SI F1F2=
1
2
•2c•r=cr,
由题意得
1
2
|PF1|•r=
1
2
|PF2|•r+λcr,故 λ=
|PF1|-|PF2|
2c
=
a
c
=
1
e
=
4
5

则②对;
对于③,若离心率为
5
4
,则c=
5
4
a,由c2-a2=9,解得a=4,
设边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、D,易见I、D横坐标相等,
|PM|=|PN|,|F1M|=|F1D|,|F2N|=|F2D|,由|PF1|-|PF2|=2a,
即:|PM|+|MF1|-(|PN|+|NF2|)=2a,得|MF1|-|NF2|=2,即|F1D|-|F2D|=2a,
记I的横坐标为x1,则D(x1,0),于是:x1+c-(c-x1)=2a,
得x1=4,则③对;
对于④,由③可得a=3,又b=3,则c=3
2
.则④对.
故答案为:①②③④.
点评:本题考查双曲线的定义和方程及性质,考查三角形的余弦定理和面积公式,考查圆的切线的性质,考查运算能力,属于中档题.
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