考点:双曲线的简单性质
专题:计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:运用双曲线的定义和余弦定理、面积公式,结合二倍角公式即可判断①;
运用双曲线的定义和三角形的面积公式,计算即可判断②;
运用离心率公式和a,b,c的关系,求得a=4,再由圆的切线性质,计算即可判断③;
由③的结论,结合a,b,c的关系,即可判断④.
解答:
解:对于①,不妨设点P在双曲线的右支上,
设|PF
1|=m,|PF
2|=n则有m-n=2a,
由于∠F
1PF
2=θ,由余弦定理得m
2+n
2-2mncosθ=4c
2,
∵
S△PF1F2=3
,∴
mnsinθ=3
,
∵c
2-a
2=9,则可得,
=
,由二倍角公式可得tan
=
,
则
=
,即∠F
1PF
2=
,则①对;
对于②,设△PF
1F
2的内切圆半径为r,
由双曲线的定义得|PF
1|-|PF
2|=2a,|F
1F
2|=2c,
S
△IPF1 =
|PF
1|•r,S
△IPF2=
|PF
2|•r,S
△I F
1F
2=
•2c•r=cr,
由题意得
|PF
1|•r=
|PF
2|•r+λcr,故 λ=
=
=
=
,
则②对;
对于③,若离心率为
,则c=
a,由c
2-a
2=9,解得a=4,
设边PF
1、PF
2、F
1F
2上的切点分别为M、N、D,易见I、D横坐标相等,
|PM|=|PN|,|F
1M|=|F
1D|,|F
2N|=|F
2D|,由|PF
1|-|PF
2|=2a,
即:|PM|+|MF
1|-(|PN|+|NF
2|)=2a,得|MF
1|-|NF
2|=2,即|F
1D|-|F
2D|=2a,
记I的横坐标为x
1,则D(x
1,0),于是:x
1+c-(c-x
1)=2a,
得x
1=4,则③对;
对于④,由③可得a=3,又b=3,则c=3
.则④对.
故答案为:①②③④.
点评:本题考查双曲线的定义和方程及性质,考查三角形的余弦定理和面积公式,考查圆的切线的性质,考查运算能力,属于中档题.