Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$，x∈（0，1）．
（1）求f（x）+f（1-x）的值；
（2）求f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，利用指数的运算性质，求f（x）+f（1-x）的值即可；
（2）由（1）的结论f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，求f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）的值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$，x∈（0，1），
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{1}{{4}^{1-x}+2}$
=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{x}}{2{（4}^{x}+2）}$
=$\frac{{4}^{x}+2}{2{（4}^{x}+2）}$
=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知，f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）
=[f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）]+[f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{2014}{2016}$）]+…+[f（$\frac{1007}{2016}$）+f（$\frac{1009}{2016}$）]+$\frac{1}{2}$[f（$\frac{1008}{2016}$）+f（$\frac{1008}{2016}$）]
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$×1007+$\frac{1}{4}$
=$\frac{2015}{4}$．

点评 本题考查了根据函数的解析式求值的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．