Question

已知椭圆的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆G上，且PF₁⊥F₁F₂，且，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆G上，且PF₁⊥F₁F₂，，知|F₁F₂|=4，即c=2，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，由此能求出椭圆G的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+m．由得，．设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB中点为E（x，y），则，，由此能求出△PAB的面积．
解答：解：（1）∵椭圆的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆G上，
且PF₁⊥F₁F₂，且，
∴|F₁F₂|==4，∴c=2，
2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴，
又∵b²=a²-c²=4，
所以椭圆G的方程为．
（2）设直线l的方程为y=x+m．
由，得．
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
AB中点为E（x，y），
则，，
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率．
解得m=2．
此时方程①为．解得x₁=-3，x₂=0．
所以y₁=-1，y₂=2．所以|AB|=．
此时，点P（-3，2）到直线AB：x-y+2=0的距离，
所以△PAB的面积S=．
点评：本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．