Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，要证EF∥平面PAD，只需证明EF∥PA即可；
（2）求三棱锥C-PBD的体积，转化为P-BCD的体积，求出底面面积和高，即可求出三棱锥E-PBD的体积．

解答 （1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）解：取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴三棱锥E-PBD的体积=$\frac{1}{2}{V}_{C-PBD}=\frac{1}{2}{V}_{P-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PM$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}a•a•\frac{1}{2}a$=$\frac{{a}^{3}}{24}$．（14分）

点评 本题考查直线和平面平行的判定，棱锥的体积，考查平面与平面垂直的性质，是中档题．