Question

9．已知$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3at}{1+{t}^{2}}}\\{y=\frac{3a{t}^{2}}{1+{t}^{2}}}\end{array}\right.$求在t=2处的切线方程和法线方程．

Answer 1

分析 先对t求导，再对x求导，得到${y}^{'}（x）=\frac{{y}^{'}（t）}{{x}^{'}（t）}$=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$，由此能求出在t=2处的切线方程和法线方程．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3at}{1+{t}^{2}}}\\{y=\frac{3a{t}^{2}}{1+{t}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴对t求导：x'（t）=$\frac{3a（1+{t}^{2}）-3at•2t}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{3a（1-{t}^{2}）}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
${y}^{'}（t）=\frac{6at（1+{t}^{2}）-3a{t}^{2}•2t}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{3a[2t（1+{t}^{2}）-2{t}^{3}]}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$\frac{6at}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
∴${y}^{'}（x）=\frac{{y}^{'}（t）}{{x}^{'}（t）}$=$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$在t=2处，即点（$\frac{6a}{5}$，$\frac{12a}{5}$）的切线方程为：
y=$\frac{4}{1-4}$（x-$\frac{6a}{5}$）+$\frac{12a}{5}$=-$\frac{4}{3}x$+4a
法线方程为：y=$\frac{4-1}{4}（x-\frac{6a}{5}）+\frac{12a}{5}$=$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}a$．

点评 本题考查切线方程和法线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．