【题目】已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x+5;函数g(x)=ax(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(2)= ,且g[f(x)]≥k对x∈[﹣1,1]恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x+1)﹣f(x)=2x+5,
∴f(1)﹣f(0)=5,f(2)﹣f(1)=7,
又f(0)=1,∴f(1)=6,f(2)=13.
设f(x)=mx2+bx+c,
则 ,解得m=1,b=4.
∴f(x)=x2+4x+1
(2)解:∵g(2)=a2= ,∴a=
.
∴g[f(x)]=( )
,
∵f(x)=x2+4x+1在[﹣1,1]上单调递增,g(x)是减函数,
∴g(f(x))在[﹣1,1]上是减函数,
g(f(x))在[﹣1,1]上的最小值为g(f(1))=g(6)= =
.
∵g[f(x)]≥k对x∈[﹣1,1]恒成立,
∴k≤
【解析】(1)利用关系式求出f(1),f(2),利用待定系数法求出f(x);(2)求出a的值,判断g(f(x))的单调性,根据单调性得出g(f(x))在[﹣1,1]上的最小值,从而得出k的范围.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减才能正确解答此题.
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【题目】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=5,则V的最大值是( )
A.4π
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣ x+c(a,c∈R)满足条件:①f(1)=0;②对一切x∈R,都有f(x)≥0
(1)求a、c的值;
(2)若存在实数m,使函数g(x)=f(x)﹣mx在区间[m,m+2]上有最小值﹣5,求出实数m的值.
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【题目】如图,A是△BCD所在平面外一点,M、N为△ABC和△ACD重心,BD=6;
(1)求MN的长;
(2)若A、C的位置发生变化,MN的位置和长度会改变吗?
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【题目】某餐厅装修,需要大块胶合板张,小块胶合板
张,已知市场出售
两种不同规格的胶合板。经过测算,
种规格的胶合板可同时截得大块胶合板
张,小块胶合板
张,
种规格的胶合板可同时截得大块胶合板
张,小块胶合板
张.已知
种规格胶合板每张
元,
种规格胶合板每张
元.分别用
表示购买
两种不同规格的胶合板的张数.
(1)用列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)根据施工需求, 两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少?并求出最少资金数.
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