Question

12．若曲线C_l：x²+y²-2x=0与曲线C₂：（x-1）（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）∪（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• C． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• D． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）∪（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（-1，0），当直线y-mx-m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，求出m的值，数形结合求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意可知曲线C₁：x²+y²-2x=0表示一个圆，化为标准方程得：
（x-1）²+y²=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；
C₂：（x-1）（y-mx-m）=0表示两条直线x=1
和y-mx-m=0，
由直线y-mx-m=0可知：此直线过定点（-1，0），
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
当直线y-mx-m=0与圆相切时，
圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，
化简得：m²=$\frac{1}{3}$，m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
则直线y-mx-m=0与圆相交时，m∈$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，
故选A

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．