Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点．
①求证：AN∥平面MBD；
②求二面角M-BD-C的余弦值．

Answer 1

①证明：连接对角线AC交BD于点O，
∵底面ABCD是矩形，∴AO=OC．
又∵NM=MC=

1

3

PC，∴OM∥AN．
又∵AN?平面MBD，OM?平面MBD．
∴AN∥平面MBD；
②距离如图所示的空间直角坐标系：∵BC=2AB=2PA=6，∴D（6，0，0），C（6，3，0），B（0，3，0），P（0，0，3）．
由M点为线段PC的三等分点，∴M（4，2，1）．
∴

DB

=(-6，3，0)，

DM

=(-2，2，1)．
设平面BMD的法向量

n

=(x，y，z)．
则

n • DB =0 n • DM =0

即

-6x+3y=0 -2x+2y+z=0

，令y=2，则x=1，z=

5

2

．
∴

n

=(1，2，

5

2

)．
∵PA⊥平面BCD，∴可取

AP

=（0，0，3）作为平面BCD的法向量．
∴cos＜

n

，

AP

＞=

n • AP

| n || AP |

=

3× 5 2

12+22+( 5 2 )2 32

=

5

3

．
∴二面角M-BD-C的余弦值为

5

3

．