Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+b

是定义在R上的奇函数，其值域为[-

1

4

，

1

4

]．
（1）试求a、b的值；
（2）函数y=g（x）（x∈R）满足：①当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函数g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函数g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是闭区间，试探求m的取值范围，并说明理由．

Answer 1

（1）由函数f（x）定义域为R，∴b＞0．
又f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，得a=0．（2分）
因为y=f（x）=

x

x2+b

的定义域为R，所以方程yx²-x+by=0在R上有解．
当y≠0时，由△≥0，得-

1

2 b

≤y≤

1

2 b

，
而f（x）的值域为[-

1

4

，

1

4

]，所以

1

2 b

=

1

4

，解得b=4；
当y=0时，得x=0，可知b=4符合题意．所以b=4．（5分）
（2）①因为当x∈[0，3）时，g（x）=f（x）=

x

x2+4

，
所以当x∈[3，6）时，g（x）=g（x-3）lnm=

(x-3)lnm

(x-3)2+4

；（6分）
当x∈[6，9）时，g（x）=g（x-6）（lnm）²=

(x-6)(lnm)2

(x-6)2+4

，
故g(x)=

(x-3)lnm (x-3)2+4     x∈[3，6) (x-6)(lnm)2 (x-6)2+4   x∈[6，9)

（9分）
②因为当x∈[0，3）时，g（x）=

x

x2+4

在x=2处取得最大值为

1

4

，在x=0处取得最小值为0，（10分）
所以当3n≤x＜3n+3（n≥0，n∈Z）时，g（x）=

(x-3n)(lnm)2

(x-3n)2+4

分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为

(lnm)n

4

与0．（11分）
（ⅰ） 当|lnm|＞1时，g（6n+2）=

(lnm)2n

4

的值趋向无穷大，从而g（x）的值域不为闭区间；（12分）
（ⅱ） 当lnm=1时，由g（x+3）=g（x）得g（x）是以3为周期的函数，从而g（x）的值域为闭区间[0，

1

4

]；（13分）
（ⅲ） 当lnm=-1时，由g（x+3）=-g（x）得g（x+6）=g（x），得g（x）是以6为周期的函数，
且当x∈[3，6）时g（x）=

-(x-3)

(x-3)2+4

值域为[-

1

4

，0]，从而g（x）的值域为闭区间[-

1

4

，

1

4

]；（14分）
（ⅳ） 当0＜lnm＜1时，由g（3n+2）=

(lnm)n

4

＜

1

4

，得g（x）的值域为闭区间[0，

1

4

]；（15分）
（ⅴ） 当-1＜lnm＜0时，由

lnm

4

≤g（3n+2）=

(lnm)n

4

＜

1

4

，从而g（x）的值域为闭区间[-

lnm

4

，

1

4

]．
综上知，当m∈[

1

e

，1]∪（1，e]，即0＜lnm≤1或-1≤lnm＜0时，g（x）的值域为闭区间．（16分）