(本题满分12分) 如图,平面⊥平面,其中为矩形,为梯形,∥,⊥,==2=2,为中点.
(Ⅰ) 证明;
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为,求的长.
(Ⅰ) 证明见解析(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由已知为正三角形,为中点,所以 ,
因为平面⊥平面,平面⊥平面,
所以平面,所以. ……4分
(Ⅱ) 方法一:设.取的中点,由题意得.
因为平面⊥平面,,所以⊥平面,
所以,所以⊥平面.
过作,垂足为,
连结,则,
所以为二面角的平面角. ……8分
在直角△中,,得.
在直角△中,由=sin∠AFB=,得=,所以=.
在直角△中,,=,得=.
因为==,得x=,所以=. ……12分
方法二:设.以为原点,所在的直线分别为轴,轴建立空间直角坐标系.
则 (0,0,0),(-2,0,0),(,0,0),(-1,,0),(-2,0,),
所以=(1,-,0),=(2,0,-).
因为⊥平面,所以平面的法向量可取=(0,1,0).
设=为平面的法向量,则
所以,可取=(,1,).因为cos<,>==,
得x=,所以=. ……12分
考点:本小题主要考查线面垂直的证明和二面角的应用,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
点评:遇到立体几何的证明题,要紧扣定理,要把定理要求的条件一一列清楚;而利用空间向量解决立体几何问题时,要建立右手空间直角坐标系,要准确计算.
科目:高中数学 来源: 题型:
π | 2 |
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年上海市金山区高三上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分,第1小题6分,第2小题6分)
已知集合A={x| | x–a | < 2,xÎR },B={x|<1,xÎR }.
(1) 求A、B;
(2) 若,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年安徽省高三10月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分12分)
设函数(,为常数),且方程有两个实根为.
(1)求的解析式;
(2)证明:曲线的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年重庆市高三第二次月考文科数学 题型:解答题
(本题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问6分,(Ⅲ)小问2分.)
如图所示,直二面角中,四边形是边长为的正方形,,为上的点,且⊥平面
(Ⅰ)求证:⊥平面
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
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