Question

已知：

a

，

b

，

c

是同一平面内的三个向量，其中

a

=(

3

，-1)
（1）若|

c

|=2|

a

|，且

c

∥

a

，求

c

的坐标；
（2）若12

a

+7

b

与

a

-

b

垂直，且

b

与

a

的夹角为120°，求|

b

|．

Answer 1

分析：（1）令

c

=(x，y)，由|

c

|=2|

a

|，且

c

∥

a

建立关于

c

的坐标的方程，求出它的坐标即可；
（2）12

a

+7

b

与

a

-

b

垂直，则它们的内积为0，由此方程结合

b

与

a

的夹角为120⁰，求出向量的模，

解答：解：（1）令

c

=(x，y)，由

a

=(

3

，-1)，|

c

|=2|

a

|，且

c

∥

a

得

x2+y2=16 x+ 3 y=0

解得

x=-2 3? y=2

或

x=2 3? y=-2

故

c

的坐标为(-2

3

，2)；或(2

3

，-2)
（2）∵12

a

+7

b

与

a

-

b

垂直
∴(12

a

+7

b

)(

a

-

b

)=0，
即12

a

2-5

a

•

b

-7

b

2=0
又

a

=(

3

，-1)，

b

与

a

的夹角为120⁰，
得48+5|

b

|-7

b

2=0解得|

b

|=3

点评：本题考查平面向量的综合题，解答本题关键是熟练掌握向量的模的坐标表示，向量共线的坐标表示，两向量垂直的条件，向量的数量积公式，本题涉及到了向量的主要运算，综合性强，是向量中非常典型的综合题，此题也是近几年高考中对向量考查时出现率最高的形式．本题常因忘记等价条件导致无法转化，致使解题失败，平坦学习时一定要注意积累基础知识，记牢，记准．