【题目】如图,平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直,且,,P为DF中点.
(1)求证:直线PE平行于平面ABCD;
(2)求PE与平面BCE所成的线面角大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取AD中点为Q,连接PQ,QB,通过证明四边形为平行四边形可得,再根据直线与平面平行的判定定理可证结论;
(2)先证明两两垂直,再以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求得结果.
(1)证明:取AD中点为Q,连接PQ,QB,
则,由于,故,
所以四边形为平行四边形,
∴,因为平面ABCD,平面ABCD,
∴平面ABCD;
(2)在中,因为,所以,所以,又平面平面,所以平面,所以,
所以两两垂直,以为原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系:
则,,,,,,,
所以,,,
令平面的法向量为,
则由,可得,取,则,所以.
令所求的线面角为,则,
所以直线PE与平面BCE所成的角为.
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【题目】如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是
A. 在内总存在与平面平行的线段
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 可能为直角三角形
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆 的左焦点为,右顶点为,上顶点为.
(1)已知椭圆的离心率为,线段中点的横坐标为,求椭圆的标准方程;
(2)已知△外接圆的圆心在直线上,求椭圆的离心率的值.
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【题目】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{an}满足:,求证:数列{an}为“M-数列”;
(2)已知数列{bn}满足:,其中Sn为数列{bn}的前n项和.
①求数列{bn}的通项公式;
②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当k≤m时,都有成立,求m的最大值.
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【题目】癌症是迄今为止人类尚未攻克的疾病之一,目前,癌症只能尽量预防.某医学中心推出了一种抗癌症的制剂,现对20位癌症病人,进行医学试验测试药效,测试结果分为“病人死亡”和“病人存活”,现对测试结果和药物剂量(单位:)进行统计,规定病人在服用(包括)以上为“足量”,否则为“不足量”,统计结果显示,这20病人
中“病人存活”的有13位,对病人服用的药物剂量统计如下表:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
吸收量/ | 6 | 8 | 3 | 8 | 9 | 5 | 6 | 6 | 2 | 7 | 7 | 5 | 10 | 6 | 7 | 8 | 8 | 4 | 6 | 9 |
已知“病人存活”,但服用的药物剂量不足的病人共1位.
(1)完成下列列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“病人存活”与服用药物的剂量足量有关?
服用药物足量 | 服用药物不足量 | 合计 | |
病人存活 | 1 | ||
病人死亡 | |||
合计 | 20 |
(2)若在该样本“服用药物剂量不足”的病人中随机抽取3位,求这三人中恰有1位“病人存活”的概率.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】2020年冬奥会申办成功,让中国冰雪项目迎来了新的发展机会,“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场,对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用.某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜(ga)、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试(指标值满分为5分,分高者为优),根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图.则下面叙述正确的是( )
A.甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标
B.乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标
C.甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标
D.乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标
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