Question

【题目】如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．
（1）求证：AF⊥平面SBC；
（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得 ．

因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE．

在Rt△SAE中， ，所以 ．

因此AE2=EFSE，又因为∠AEF=∠AES，

所以△EFA∽△EAS，

则∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．

因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，

所以BC⊥底面SAE，则BC⊥AF．

又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC

（2）解：结论：在线段上DE上存在点G使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°，此时DG= ．

理由如下：

假设满足条件的点G存在，并设DG=t．

过点G作GM⊥AE交AE于点M，

又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．

作MN⊥AF交AF于点N，连结NG，则AF⊥NG．

于是∠GNM为二面角G﹣AF﹣E的平面角，

即∠GNM=30°，由此可得 ．

由MN∥EF，得 ，

于是有 ， ．

在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，

即 ，解得 ．

于是满足条件的点G存在，且 ．

【解析】（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点G的预设位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．