Question

17．设函数f（x）=|2x-1|+|ax-1|（a＞0）
（1）当a=2时，解不等式4f（x）≥f（0）
（2）若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的一个不等式，求出此不等式的解集，即得所求．
（2）分类讨论求得f（x）的最小值，则由4乘以此最小值大于或等于f（0），求得a的范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|2x-1|+|2x-1|=2|2x-1|，不等式4f（x）≥f（0），即 8|2x-1|≥2，
即|2x-1|≥$\frac{1}{4}$，∴2x-1≥$\frac{1}{4}$，或2x-1≤-$\frac{1}{4}$，求得x≥$\frac{5}{8}$ 或x≤$\frac{3}{8}$，
故原不等式的解集为{x|x≥$\frac{5}{8}$ 或x≤$\frac{3}{8}$}．
（2）∵当$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$时，即0＜a＜2 时，f（x）=|2x-1|+|ax-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-（2+a）x，x＜\frac{1}{2}}\\{（2-a）x，\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{a}}\\{（a+2）x-2，x＞\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
若对任意x∈R，不等式4f（x）≥f（0）=2恒成立，
故f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2-a}{2}$，由4•$\frac{2-a}{2}$≥2，求得a≤1，
综合可得，0＜a≤1．
当当$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$时，即a＞2 时，f（x）=|2x-1|+|ax-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-（2+a）x，x＜\frac{1}{a}}\\{（a-2）x，\frac{1}{a}≤x≤\frac{1}{2}}\\{（2+a）x-2，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值为f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{a-2}{a}$，由4•$\frac{a-2}{a}$≥2，求得a≥4，
综合可得，a≥4．
综上可得，要求的实数a的取值范围为{a|0＜a≤1，或a≥4}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最小值，属于中档题．